Title: Standard for DVM-Pluss
Course: DVM-Pluss

Standard kategori for spørsmål delt i konteksten 'DVM-Pluss'.

Feedback shared by this category's questions, if partly right: Svaret ditt er delvis korrekt.

I videoen brukte vi tabell som verktøy for å oppdage tallmønster. Oppdager du andre tallmønstre, og i så fall hvilke?

Let etter flere geometriske mønstre. Hvilke mønstre oppdager du?

Her har du et hjelpeverktøy du kan bruke for å finne nye mønstrer.

Hva har du lært av undervisningsvideoene? Hva var vanskelig å forstå?

Kan du finne en annen måte å systematisere båttallene?
Du kan svare skriftlig, eller ta lyd- eller videoopptak. På denne siden er en film som viser hvordan:

https://dvm.iktsenteret.no/mod/page/view.php?id=4550

Kan du finne en annen måte å dele/systematisere båttallene?

Du kan svare skriftlig, eller ta lyd- eller videoopptak. På denne siden er en film som viser hvordan:

https://dvm.iktsenteret.no/mod/page/view.php?id=4550

Hva har du lært av undervisningsvideoene? Hva var vanskelig å forstå?

Du kan svare skriftlig, eller ta lyd- eller videoopptak. På denne siden er en film som viser hvordan:

https://dvm.iktsenteret.no/mod/page/view.php?id=4550

Q: Fire sirkler er rammet inn av et kvadrat med sidelengdene 4. Hva er arealet av det svarte feltet?

[Image: Fire sirkler i et kvadrat]Foto: Matematikksenteret
- 4
- 5
- `5 1/2`
- 6
- 2
A: 4
If right: Svaret ditt er riktig.
If wrong: Svaret ditt er feil
Feedback: Fasit: 4 Det svarte felte kan deles inn i en sirkel med radius 1, og et kvadrat med side 2 minus arealet av en sirkel. Vi ser for oss et kvadrat med hjørnepunkt i de fire sirklenes sentrum. Kvadratets areal vil inneholde en kvart av hver av de fire sirklene i tillegg til det sorte feltet i midten. Arealet av det sorte feltet kan derfor beskrives slik: `pi*r^2+ s^2-pi*r^2` der `s` er siden til kvadratet i midten med lengde 2. Vi ser at `pi*r^2` faller bort og vi står igjen med `s^2` som gir: `s^2=2^2=4`

Q: Jesper bor på fastlandet, og Vidar bor på en øy 2 km fra land. De har hver sin motorbåt, men med ulik størrelse på motoren. Jesper bruker 50 min på å komme seg over til øya med sin båt, mens Vidar bruker 40 min på å komme seg fra øya til fastlandet med sin båt. En dag starter de å kjøre likt. Hvor langt fra hverandre er de to etter 20 min?

[Image: Båt på vei til en øy]Foto: Colourbox.com
- 200
- 400
- 800
- 300
- 1800
A: 200
If right: Svaret ditt er riktig.
If wrong: Svaret ditt er feil
Feedback: Fasit: 200m Etter 20 min er Vidar halvveis, altså kjørt 1000m. Jesper er `2/5` deler fra land som tilsvarer `(2000m)/5*2=400*2=800m`. Avstanden mellom dem er derfor 200m.

Q: Marius fra Danmark har lagt 2-kroninger i et mønster, slik:

[Image: Mønster av to-kroner]

Marius har spart lenge og har akkurat nok 2-kroninger til å legge figur 11 og figur 14. Hvor mange danske kroner har Marius?
- 609
- 1218
- 434
- 964
A: 1218
If right: Svaret ditt er riktig.
If wrong: Svaret ditt er feil
Feedback: Denne oppgaven kan løses på flere måter. Her er en aritmetisk løsning og en geometrisk løsning. Aritmetisk løsning: Vi setter det vi vet i en tabell og forsøker å uttrykke antall mynter ved hjelp av figurnummer: Figur nr. | Antall mynter | Antall mynter uttrykt med figurnummer 1 | 1 | `1*1` 2 | 6 | `2*3` 3 | 15 | `3*5` 4 | 28 | `4*7` Vi ser at antall mynter multipliseres med oddetallene. Vi vet at oddetallene kan uttrykkes som: `2n-1` Figurnummer multiplisert med uttrykket for oddetall blir: `n*(2n-1)` Marius har nok 2-kroninger til å lage figur nr.11 og figur nr.14. Vi får følgende regnestykke: `11*(2*11-1)+14*(2*14-1)=11*21+14*27=231+378=609` Ettersom det spørres om hvor mange danske kroner Marius har må vi multiplisere de 609 2-kroningene med 2 og vi får 1218 danske kroner. Geometrisk løsning: Vi finner igjen kvadrattallene, her markert med rødt, og trekanttallene, her markert med grønt. [Image: Geometrisk løsning av problemstillingen] Kvadrattallene finner vi ved å se for oss at den lengste rekka til høyre, adskilt med prikkete rød linje, roteres 90 grader og legges over eller under rektanglet som er igjen i det røde feltet. Da vil det dannes et kvadrat med sidelengde `n`. Formelen for kvadrattall er: `n*n=n^2` Formelen or trekanttaller er `(n(n+1))/2`, men ettersom trekantatallene ikke starter før figur nr.2 blir det en forskyvelse på èn mindre enn figurnummeret. Vi får derfor formelen: `(n(n-1))/2` Vi får da: `n^2+(n(n-1))/2+(n(n-1))/2=n^2+n(n-1)` Ettersom Marius har nok mynter til legge figur 11 og figur 14 setter får vi følgende regnestykke: `11^2+11*10+14^2+14*13=121+110+196+182=609` Marius har lagt 2-kroninger. Han har derfor `609*2 =1218`danske kroner

Q: Trekanten ABC er en likesidet trekant med sidelengde `a`. Ut fra sidelengdene AB og BC er kvadratene ABDE og BCFG konstruert. Finn lengden på linjestykket DG.

[Image: Geometriks figur]Foto: Matematikksenteret
- `a(sqrt 2 +1)1`
- `a(2 sqrt 2 +1)`
- `a(sqrt 3 +1)`
- `a sqrt3`
A: `a(sqrt 3 +1)`
If right: Svaret ditt er riktig.
If wrong: Svaret ditt er feil
Feedback: Vi har markert to nye punkter for å gjøre forklaringen mer oversiktlig. Det ene punktet har vi satt der linjene BC og DG skjærer hverandre og kalt det P. Det andre punktet har vi der linjene AB og DG skjærer hverandre og kalt det Q. Ettersom trekanten ABC er likesidet og firkantene ABDE og BCGF er kvadrater, har alle sidene i trekanten og kvadratene lengde a. Fordi trekanten er likesidet er alle vinklene 60 grader, som igjen betyr at de to kvadratene står slik at siden AC i trekanten er parallell med linjen DG. Det fører igjen til at den lille trekanten som dannes av punktene BPQ er formlik trekanten ABC med alle vinkler lik 60 grader. Hvis vinkelen BPQ er 60 grader er også vinkelen CPG 60 grader pga. de parvis like store vinklene som dannes når to linjer krysser hverandre. Det fører til at trekanten CGP har vinklene 30, 60 og 90 grader. For alle trekanter som har vinklene 30, 60 og 90 grader vet vi at lengden til hypotenusen er to ganger lengden til det minste katet. Vi kaller det minste katetet CP for `x` som gir hypotenusen GP lengden `2x`. Vi kan finne forholdet mellom lengden på linjene ved å bruke Pytagoras. Hvis det minste katetet har lengde 1, vil hypotenusen ha lengde 2. Det lengste katetet vil da ha lengde: `2^2 -1=3^2`, lengden vil da bli `sqrt 3`. Vi kan dermed uttrykke lengden CG = `sqrt 3 a`. GP kan uttrykkes med hensyn på ved hjelp av Pytagoras slik: `GP^2 = CG^2 + CP^2` `(2x)^2 = sqrt 3 a^2 + x^2` `2x=sqrt(sqrt 3 a^2+x^2)` `x=(sqrt3 a+ x)/2` BP kan uttrykkes som `a-x`. Fordi trekanten BPQ er likesidet er også lengden `PQ=a-x`. Fordi linjene DG og AC er parallelle og fordi kvadratene er kongruente med samme sidelengde som den likesidede trekanten vil trekanten CGP og trekanten ADQ være kongruente. Lengden GP er derfor lik DQ. Lengden DG kan derfor uttrykkes slik: `DG = DQ + PQ + GP` `DG = (sqrt3 a+ x)/2 +a -x +(sqrt3 a+ x)/2` `DG = sqrt 3 a+ x+ a -x` `DG = sqrt 3 a +a = a(sqrt 3 +1)` [Image: Løsningsforslag]Foto: Matematikksenteret

Finn en annen måte å systematisere antall håndtrykk.

Vi har ikke funnet en regel som sier oss hvor mange håndtrykk det blir i en bestemt forsamling. Prøv å finn en regel - du kan formulere den med ord eller du kan lage et algebraisk uttrykk.

Kan du sjekke ut om summen av tre påfølende tall er delelig  med 3?

Hvordan vil du bevise eller motbevise dette?

Du kan svare skriftlig, eller ta lyd- eller videoopptak. På denne siden er en film som viser hvordan:

https://dvm.iktsenteret.no/mod/page/view.php?id=4550

Vi har bevist at summen av tre påfølgjande tal er deleleg med 3.
Men - er summen av fire påfølgjande tal deleleg med 4?
Og  kva med summen av fem påfølgjande tal? Er dei delelege med 5? Prøv og sjå kva du finn ut!

Du kan svare skriftlig, eller ta lyd- eller videoopptak. På denne siden er en film som viser hvordan:

https://dvm.iktsenteret.no/mod/page/view.php?id=4550

Du kan svare skriftlig, eller ta lyd- eller videoopptak. På denne siden er en film som viser hvordan:

https://dvm.iktsenteret.no/mod/page/view.php?id=4550

Q: [Image: segmenter]På to motstående sider i et kvadrat med sidelengde 8 cm har vi markert to segment med lengde 1 cm. De to segmentene henger sammen ved hjelp av to linjestykker som krysser hverandre, som vist på figuren . Hva er arealet av de grå områdene?
- 2
- 4
- `64/10`
- 8
- Det kommer an på segmentenes posisjon
A: 4
If right: Svaret ditt er riktig. Ettersom segmentene er like store og streken som binder segmentene sammen er rette har vi to trekanter som har to grunnlinjer som er like og to og to sider som er like lange. Siden som går opp fra høyre for segmentet i den nederste trekanten må være lik siden som går ned fra venstre i den andre trekanten, og motsatt for de to andre sidene. Dermed kan vi si at de to grå trekantene er kongruente uansett hvor segmentene befinner seg på sidene av kvadratet. Det betyr at linjene som binder segmentene sammen krysser langs midten av kvadratet og at trekantene dermed er like store. Vi har dermed to trekanter med grunnlinje 1 cm og høyde 4 cm. Formelen for arealet av en trekant er A = (g*h)/2. Vi kan dermed regne ut arealet av det grå feltet slik: `A = (g*h)/2` `A = (1*4)/2` A = 2 Vi multipliserer med 2 ettersom det er to trekanter og får 4. Det grå arealet er `4cm^2`
If wrong: Svaret ditt er feil. Ettersom segmentene er like store og streken som binder segmentene sammen er rette har vi to trekanter som har to grunnlinjer som er like og to og to sider som er like lange. Siden som går opp fra høyre for segmentet i den nederste trekanten må være lik siden som går ned fra venstre i den andre trekanten, og motsatt for de to andre sidene. Dermed kan vi si at de to grå trekantene er kongruente uansett hvor segmentene befinner seg på sidene av kvadratet. Det betyr at linjene som binder segmentene sammen krysser langs midten av kvadratet og at trekantene dermed er like store. Vi har dermed to trekanter med grunnlinje 1 cm og høyde 4 cm. Formelen for arealet av en trekant er `A = (g*h)/2`. Vi kan dermed regne ut arealet av det grå feltet slik: `A = (g*h)/2` `A = (1*4)/2` A = 2 Vi multipliserer med 2 ettersom det er to trekanter og får 4. Det grå arealet er `4cm^2`

Q: Hvilket tall er størst?
- `3^19`
- `9^11`
- `27^7`
- `81^5`
- `3^19`
A: `9^11`
If right: Svaret ditt er riktig. `9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9=31381059609`
If wrong: Svaret ditt er feil. `9*9*9*9*9*9*9*9*9*9*9=31381059609`

Q: Hvis man velger to ulike tall fra mengden {-3, -2, -1, 0, 1, 2} og deretter multipliserer dem, hva er sjansen for at produktet blir 0?
- `1/10`
- `2/5`
- `1/5`
- `1/3`
- `1/2`
A: `1/3`
If right: Svaret ditt er riktig. Det er to tall som skal trekkes fra mengden. Det betyr at vi ikke kan trekke det samme tallet to ganger. Ettersom vi er ute etter produktet av de to tallene spiller det ingen rolle hvilken rekkefølge vi trekker tallene, fordi `-3*1 = 1*-3`. For at produktet skal bli 0 må 0 trekkes fra mengden. 0 kan multipliseres med fem andre tall, så det kan bli 0 fem ganger. Slik kan vi også tenke for de andre tallene for å finne antall mulige kombinasjoner, men da regner vi ikke med at `-3*1 = 1*-3`. Vi må derfor dele antall mulige kombinasjoner på to. Vi får da: `(6*5)/2=15` Dette ser vi hvis vi setter det opp i en tabell: | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 -3 | | `-2*-3` | `-1*-3` | `0*-3` | `1*-3` | `2*-3` -2 | `-3*-2` | | `-1*-2` | `0*-2` | `1*-2` | `2*-2` -1 | `-3*-1` | `-2*-1` | | `0*-1` | `1*-1` | `2*-1` 0 | `-3*0` | `-2*0` | `-1*0` | | `1*0` | `2*0` 1 | `-3*1` | `-2*1` | `-1*1` | `0*1` | | `2*1` 2 | `-3*2` | `-2*2` | `-1*2` | `0*2` | `1*2` | Ettersom det er fem mulige kombinasjoner som gir produktet 0 og det er 15 antall mulige kombinasjoner gir det en sannsynlighet på `5/15=1/3` for at produktet blir 0 hvis man trekker to vilkårlig tall fra mengden.
If wrong: Svaret ditt er feil. Det er to tall som skal trekkes fra mengden. Det betyr at vi ikke kan trekke det samme tallet to ganger. Ettersom vi er ute etter produktet av de to tallene spiller det ingen rolle hvilken rekkefølge vi trekker tallene, fordi `-3*1 = 1*-3`. For at produktet skal bli 0 må 0 trekkes fra mengden. 0 kan multipliseres med fem andre tall, så det kan bli 0 fem ganger. Slik kan vi også tenke for de andre tallene for å finne antall mulige kombinasjoner, men da regner vi ikke med at `-3*1 = 1*-3`. Vi må derfor dele antall mulige kombinasjoner på to. Vi får da: `(6*5)/2=15` Dette ser vi hvis vi setter det opp i en tabell: | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 -3 | | `-2*-3` | `-1*-3` | `0*-3` | `1*-3` | `2*-3` -2 | `-3*-2` | | `-1*-2` | `0*-2` | `1*-2` | `2*-2` -1 | `-3*-1` | `-2*-1` | | `0*-1` | `1*-1` | `2*-1` 0 | `-3*0` | `-2*0` | `-1*0` | | `1*0` | `2*0` 1 | `-3*1` | `-2*1` | `-1*1` | `0*1` | | `2*1` 2 | `-3*2` | `-2*2` | `-1*2` | `0*2` | `1*2` | Ettersom det er fem mulige kombinasjoner som gir produktet 0 og det er 15 antall mulige kombinasjoner gir det en sannsynlighet på `5/15=1/3` for at produktet blir 0 hvis man trekker to vilkårlig tall fra mengden.

Q: [Image: rektangler]Rektanglet du ser her er delt inn i 6 mindre kvadrater. Arealet til to av kvadratene er gitte. Hva er arealet til hele rektangelet?
- 528 cm^2
- 572 cm^2
- 616 cm^2
- 660 cm^2
- 704 cm^2
A: 572 cm^2
If right: Svaret ditt er riktig. Denne oppgaven kan løses på forskjellige måter. Under ser du én mulig løsning: Vi tar kvadratrota av arealet av de to kvadratene, og finner den ene siden til rektangelet. `sqrt64cm^2 + sqrt196cm^2 = 8cm + 14cm = 22cm` Ettersom det lilla kvadratet, med areal `64cm^2` og sidelengde 8cm, deler sidelengde med det det rosa kvadratet må også det rosa kvadratet ha sidelengde 8cm. Legger vi sammen sidelengdene til det lilla og rosa kvadratet og trekker fra sidelengden til det lysegrønne kvadrat får vi lenden til det lille grønne kvadratet. 8cm + 8cm – 14cm = 2cm Det grå kvadratet har dermed sidelengde 8cm + 2cm = 10 cm. Dermed kan vi regne ut arealet av hele rektangelet. `22cm*26cm=572cm^2` Arealet til rektangelet er `572cm^2`
If wrong: Svaret ditt er feil. Denne oppgaven kan løses på forskjellige måter. Under ser du én mulig løsning: Vi tar kvadratrota av arealet av de to kvadratene, og finner den ene siden til rektangelet. `sqrt64cm^2 + sqrt196cm^2 = 8cm + 14cm = 22cm` Ettersom det lilla kvadratet, med areal `64cm^2` og sidelengde 8cm, deler sidelengde med det det rosa kvadratet må også det rosa kvadratet ha sidelengde 8cm. Legger vi sammen sidelengdene til det lilla og rosa kvadratet og trekker fra sidelengden til det lysegrønne kvadrat får vi lenden til det lille grønne kvadratet. 8cm + 8cm – 14cm = 2cm Det grå kvadratet har dermed sidelengde 8cm + 2cm = 10 cm. Dermed kan vi regne ut arealet av hele rektangelet. `22cm*26cm=572cm^2` Arealet til rektangelet er `572cm^2`

Q: [Image: Kvadrater]Anne-Mari skal lage et magisk kvadrat med tallene 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 og 100. Hun skal plassere tallene slik at produktet av de tre tallene i hver rekke vannrett og loddrett, og diagonalt skal bli det samme. Hvilket tall må Anne-Mari plassere der spørsmålstegnet står?
- 2
- 4
- 5
- 10
- 25
A: 4
If right: Svaret ditt er riktig. 100 er det største tallet som skal inn i kvadratet, og ettersom tallene må brukes i minst to kombinasjoner vil den minste mulige kombinasjonen være 1000, fordi de minste tallene i to kombinasjoner med 100 som gir samme produkt er `10*1*100 og 5*2*100`. Det høyeste produktet vil være 2000 fordi 20 og 1 er allerede bestemt i den øverste vannrett rekka. Tallet øverst til høyre må derfor enten være 50 eller 100. Vi prøver oss med 50. 20 | 1 | 50 25 | 10 | 4 2 | 100 | 5 Tallet som skal stå i ruta med spørsmålstegn er 4.
If wrong: Svaret ditt er feil. 100 er det største tallet som skal inn i kvadratet, og ettersom tallene må brukes i minst to kombinasjoner vil den minste mulige kombinasjonen være 1000, fordi de minste tallene i to kombinasjoner med 100 som gir samme produkt er `10*1*100 og 5*2*100`. Det høyeste produktet vil være 2000 fordi 20 og 1 er allerede bestemt i den øverste vannrett rekka. Tallet øverst til høyre må derfor enten være 50 eller 100. Vi prøver oss med 50: 20 | 1 | 50 25 | 10 | 4 2 | 100 | 5 Tallet som skal stå i ruta med spørsmålstegn er 4.

Rette linjer som krysser hverandre danner parvis motstående like store vinkler, blant annet på følgende måter:

[Image: Vinkler]

Trekantene ADF og CGF er formlike fordi `/_ CFG = /_ AFD` – toppvinkler, og `/_FCG=/_DAF` – samsvarende vinkler ved paralleller. Vi har fått opplyst at linje DF=3 og linje FG=1 som gjør at linjene i trekantene ADF og CGF har et forhold 3:1. Vi setter lengden på linjene i kvadratet lik x som gjør at linja CG er `1/3`x og linja BG er `2/3`x.

Videre kan oppgaven løses på forskjellige måter, blant annet av å benytte formlikheten mellom trekantene AED og BEG, formlikhetene mellom trekantene CDF og AEF eller formlikheten mellom trekantene CDG og BEG til å finne lengden BE.

[Image: Fasit vinkler]

Vi benytter oss av formlikheten mellom trekantene CDG og BEG. Ettersom linjen CG er lik `1/3x` og linjen BG er lik `2/3x` er forholdet mellom linjene i de to trekantene 1:2. Siden linja CD er x vil linja BE være 2x.

Vi finner et uttrykk for x ved å benytte oss av Pytagoras og trekanten CDG slik:

 `x^2=4^2-(1/3x)^2`

`x^2=16-1/9x^2`

`x^2+1/9x^2=16`

`16=10/9x^2`

`16*9=(10*9)/9x^2`

`x^2=144/10=72/5`

Vi setter inn i formelen for beregningen av arealet av en trekant:

`A=(g*h)/2`

`A=(2x*2/3x)/2 `          Vi forkorter 2 i 2x over brøken med 2 under brøken

`A=2/3x^2`                   Vi setter inn for `x^2`

`A=2/3*72/5`

`A=144/15=48/5`

Arealet av det grå feltet er `48/5`